اتحادهای لگاریتمی زیادی را میتوان در ریاضیات پیدا کرد.
قوانین جبری[ویرایش]
کاربرد عملگرهای سادهساز[ویرایش]
گاهی از لگاریتم برای ساده کردن شمارشهای ریاضی استفاده میشود. مانند لگاریتم حاصل ضرب که برابر است با مجموع لگاریتم دو عدد:
![{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4357f1cdd9ab6b88f9a51c4d18e8c5197ddc1b) |
زیرا: |
|
![{\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5de40724bd183844957d4c17c7812831006b7c) |
زیرا: |
|
![{\displaystyle \log _{b}(x^{d})=d\log _{b}(x)\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def4af523c169c3da78be8c7556995eb9e874b12) |
زیرا: |
|
![{\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa4327beb2984c4f0548bee011606d7588db706) |
زیرا: |
|
![{\displaystyle x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad24d1cecc76619184d3d3912d4e0368c1e09516) |
زیرا: |
|
![{\displaystyle c\log _{b}(x)+d\log _{b}(y)=\log _{b}(x^{c}y^{d})\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd49c5de30fc93f86948fb3d27a922ebbd9eff5) |
زیرا: |
|
که در آن
و
و
اعداد حقیقی بزرگتر از صفر اند و
است. همچنین
و
همگی اعداد حقیقی اند.
- اثبات قانون نخست
قانون مربوط به توانها:
قانون نسبتها:
قانون ریشهها مانند قانون توانها اثبات میشود:
اتحادهای بدیهی[ویرایش]
![{\displaystyle \log _{b}(1)=0\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d722057c172d6205d8fa4f9639ba59195dcd4fa) |
زیرا: |
|
![{\displaystyle \log _{b}(b)=1\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ea1710fc1dd65eb503ff34f4e60ed931867574) |
زیرا: |
|
هشدار:
تعریف نشدهاست چون هیچ عدد
را نمیتوان پیدا کرد که
شود. به عبارت دیگر در نمودار
در نقطهٔ ۰ = x یک مجانب قائم داریم.
توانهای خنثی کننده[ویرایش]
تابعهای لگاریتمی و نمایی در صورتی که هر دو در یک پایه باشند میتوانند یکدیگر را خنثی کنند. این به این دلیل است که دو تابع وارون یکدیگرند. (درست مانند ضرب و تقسیم یا جمع و تفریق که عملگرهای وارون اند)
![{\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x{\text{ because }}\operatorname {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed10962bf0591997033a7abb7b3c9454b37c80e2)
![{\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x{\text{ because }}\log _{b}(\operatorname {antilog} _{b}(x))=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a493203ed404b74aab13d3aa80273273f15f4d6)
بسیاری از ماشین حسابها تنها میتوانند لگاریتم طبیعی و اعشاری را حساب کنند برای همین اگر بخواهیم لگاریتم در دیگر پایهها را بدست آوریم باید از اتحاد زیر استفاده کنیم:
![{\displaystyle \log _{b}a={\log _{d}a \over \log _{d}b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d664d2b89fad5e5929d0dfb11f8e0199c40150a1)
فرض کنید که
آنگاه
حال از دو سوی تساوی در پایهٔ d لگاریتم میگیریم:
![{\displaystyle \log _{d}b^{c}=\log _{d}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c77cf28037a2fdee2447839e509816bb9b343c5)
پس از سادهسازی خواهیم داشت:
آنگاه
از آنجایی که
خواهیم داشت:
نتایج بدست آمده از اتحاد بالا عبارتند از:
![{\displaystyle \log _{b}a={\frac {1}{\log _{a}b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbd90f044a3e1c3866e76db5084d6440806b87e)
![{\displaystyle \log _{b^{n}}a={{\log _{b}a} \over n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f64cb06094d55e811c19e3ba476181f3e97b4c)
![{\displaystyle b^{\log _{a}d}=d^{\log _{a}b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57de9ecf16668f377d064291bc83d7bc5e40e59)
![{\displaystyle -\log _{b}a=\log _{b}\left({1 \over a}\right)=\log _{1 \over b}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d257a51247f4bb42483f9271fdd012afc35735)
![{\displaystyle \log _{b_{1}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{n}}a_{n}=\log _{b_{\pi (1)}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{\pi (n)}}a_{n},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17af4596440ff711ff1bbed595d69843eb702190)
که در آن
جایگشت زیرنویس ۱ تا n است مانند:
![{\displaystyle \log _{b}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{d}c\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{a}c\cdot \log _{d}z.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee624cdefa8760cb16d6d045dd911bc83ed2a2c)
جمع و تفریق[ویرایش]
جمع و تفریق در لگاریتمها در نظریههای احتمالاتی کاربرد دارند:
![{\displaystyle \log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}(1+b^{\log _{b}c-\log _{b}a})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679969d471ebce23a36409bfe78d6524a8abcbed)
![{\displaystyle \log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}(1-b^{\log _{b}c-\log _{b}a})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca8816dce23baf9c42762c191f71a584810f75f)
که در حالت ویژه میدهد:
![{\displaystyle \log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c046ee991fe5324bdf44f8181da2d57d94a735d)
![{\displaystyle \log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8232b6294af244ad8b4300c4495a7eefb8b690)
مشارکتکنندگان ویکیپدیا. «List of logarithmic identities». در دانشنامهٔ ویکیپدیای انگلیسی، بازبینیشده در ۳۱ اوت ۲۰۱۱.