در این صفحه فهرست سریهای ریاضی برای سریهای همگرا و واگرا را مییابید.
حاصلجمع سریهای توانی[ویرایش]
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{n}m={\frac {n(n+1)}{2}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9bf53933a2ddbf89be23f853bc96d177a5672fa)
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{n}m^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3b8c7fcf42324c854c3db770a4123972b21bcc)
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{n}m^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left(\sum _{m=1}^{n}m\right)^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b401073f6581dbeae3739e0167704d5749a5917)
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{n}m^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n}{30}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9416672504dcc9bdc3d11fbfe6f5c969b6a04c79)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}m^{s}={\frac {(n+1)^{s+1}}{s+1}}+\sum _{k=1}^{s}{\frac {B_{k}}{s-k+1}}{s \choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6eeef9ff4774916edf44d5c258dc2257dff319f)
که
عدد برنولی
-اُم، و
عددی منفی است.
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1189f584eb3a9e0692dcbcb14992a1cba48c90)
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f03dbf8efe582336738e80c00ae709c1fef9fa)
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n}}}=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea25fb89e64143ec3a1c25f265e4e9f5517ca2e9)
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }m^{-s}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\zeta (s)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c205d4dba3e626a9922ab2e05b29b26121b34e34)
که
تابع زتای ریمان است.
سریهای توانی[ویرایش]
برای حالتهای نامتناهی:
که
و
که
پلیلگاریتم x است.
سریهای سادهٔ کسری[ویرایش]
برای ![{\displaystyle |x|<1\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9915276ad6a3c6bae273c8267cb9c1c63a89972)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{2m+1}}x^{2m+1}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots =\arctan(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dcd403dfd424f4a5a75e2f0a2e913e8aa1291c1)
برای ![{\displaystyle |x|<1\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c022fa0c31334a909db733cc2f4bba0ffabcc622)
سریهای کسری فاکتوریلی[ویرایش]
بسیاری از سریهای توانی که از بسط تیلور به دست میآیند، ضریبهای فاکتوریلی دارند.
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m!}}=e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69c64e68df83dfe48ef36cd51fb2189351d856c)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!}}x^{m}={\frac {1}{e^{x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee41ea5aea84cc082cf422434aeff959ddbd48a)
(توزیع پواسون)
(مشتق دوم توزیع پواسون)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }m^{3}{\frac {x^{m}}{m!}}=(x+3x^{2}+x^{3})e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a22b8bd4ab537b8ae792f6b55bb176da40d0ab)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }m^{4}{\frac {x^{m}}{m!}}=(x+7x^{2}+6x^{3}+x^{4})e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35535d21f2a8a7e32dc5062a5d9f1f3bbdef9b20)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }m^{n}{\frac {x^{m}}{m!}}=x{\frac {d}{dx}}\sum _{m=0}^{\infty }m^{n-1}{\frac {x^{m}}{m!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/693a5c9873a96eafb904f3f343eaf22461327e49)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{(2m+1)!}}x^{2m+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots =\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea13a887694bb7500c3dbeee53573d72b0f07f90)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{(2m)!}}x^{2m}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3779b31b5231031ffc34c18e7bb76677d977a34)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{2m+1}}{(2m+1)!}}=\sinh x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4382854a982d9d1d6f8018adf8a8c7cd4f58a99)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{2m}}{(2m)!}}=\cosh x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b75e5f022d5fece3f827b4f8868f2633d58f3e6)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(2m)!}{4^{m}(m!)^{2}(2m+1)}}x^{2m+1}=\arcsin x\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1279212173cce4b4e4c91dc929a3e23b06710e2b)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}(2m)!}{4^{m}(m!)^{2}(2m+1)}}x^{2m+1}=\mathrm {arcsinh} (x)\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1f3dbf6d84b22c580292f46229874976dd4204)
[۱]
[۱]
[۱]
سریهای دوجملهای[ویرایش]
سریهای هندسی:
![{\displaystyle (1+x)^{-1}={\begin{cases}\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }(-x)^{m}&|x|<1\\\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }-(x)^{-m}&|x|>1\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22fffe70ea6dcafb09bf0145c7afbbb05ec28f0c)
بسط دوجملهای:
![{\displaystyle (a+x)^{n}={\begin{cases}\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\binom {n}{m}}a^{n-m}x^{m}&|x|\!<\!|a|\\\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\binom {n}{m}}a^{m}x^{n-m}&|x|\!>\!|a|\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310fa154a7ef43be5271d8189c7cd38dc0a9189f)
![{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{m=0}^{\infty }{\alpha \choose m}x^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f536efe140bf5ae58a54912855ce1c0457868b68)
برای تمام
و تمام
های مختلط
- عمومیشدهٔ ضریبهای دوجملهای
ریشهٔ دوم:
برای ![{\displaystyle |x|<1\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9915276ad6a3c6bae273c8267cb9c1c63a89972)
گوناگون:
- [۲]
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{m+n \choose m}x^{m}={\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d488608902c0a56fb533e7deee65b5e3886aa20)
- [۲]
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m+1}}{2m \choose m}x^{m}={\frac {1}{2x}}(1-{\sqrt {1-4x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edbf3e5aa471ce8d5daf4364b1a82ae06b3647af)
- [۲]
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{2m \choose m}x^{m}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d353bff5a192afb4b093262642371fe9d316bc)
- [۲]
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{2m+n \choose m}x^{m}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1516bd9907613b19e0c24e7c241ff52b083c74d2)
عددهای برنولی[ویرایش]
[۱]
[۱]
[۱]
[۱]
عددهای هارمونیک[ویرایش]
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }H_{m}x^{m}={\frac {\log {\frac {1}{1-x}}}{1-x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380580739653583498e9b9e318e79d8ddf69e234)
[۱]
[۱]
[۱]
ضریبهای دوجملهای[ویرایش]
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}{n \choose m}=2^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb346b8f690fe4301bb10944a55b429125c2d8d)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}{n \choose m}a^{(n-m)}b^{m}=(a+b)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c12c32b988eff64f47eacdf5c2d79604d4cc6b3)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}(-1)^{i}{n \choose m}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a7b883e96e28dad781e805188dcd74f2e11bc2)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}{m \choose k}={n+1 \choose k+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b5667b9af495c9f84727b4db0c317df88523da)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}{k+m \choose m}={k+n+1 \choose n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073fec6fcc6e415e92ab91981dc93d6ef15ef90c)
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{r}{r \choose m}{s \choose n-m}={r+s \choose n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c359ea8dd62934b7da777ad4eab0179dd13d413)
تابعهای مثلثاتی[ویرایش]
برخی از سینوسها و کسینوسها از سری فوریه به دست میآیند.
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{n}\sin \left({\frac {m\pi }{n}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd55778a95df431cbd6887da7b74a911e11d78ac)
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{n}\cos \left({\frac {m\pi }{n}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f9ad08a47d3e1ab87c7a41f4774a9c87737030)
دستهبندی نشده[ویرایش]
![{\displaystyle \sum _{m=b+1}^{\infty }{\frac {b}{m^{2}-b^{2}}}={\frac {1}{2}}H_{2b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88661f341174d741e28fc5006ef144893d30f53)
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {y}{m^{2}+y^{2}}}=-{\frac {1}{2y}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f017e0f28f49c89e0f49c237bb8784b32b8874c)
جستارهای وابسته[ویرایش]
مشارکتکنندگان ویکیپدیا. «List of mathematical series». در دانشنامهٔ ویکیپدیای انگلیسی، بازبینیشده در ۲۴ فوریهٔ ۲۰۱۱.